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第8章 稻田与数学（第3页）

这正是蕾妮概念性错误的所在。她注意到把y轴的数值设得越高，线越接近垂直。所以她认为要让这条线越来越陡，陡到垂直的状态，增加y轴的值是关键。

“我猜12或者13应该可以，或者15呢。”

几个y轴的结果让她皱起眉头。她跟舍恩菲尔德你一言我一语地交流。她问教授问题，教授就慢慢把她往正确方向引导。她一步一步尝试，一个一个检验。

终于她输入了20，这条线又更陡了一点。

她输入40，线更陡了。

“我想这其中一定有某种联系。但是至于为什么，我觉得很难理解……那么80呢？如果40到这里，那80应该能到y轴了。让我试试看。”

她输入80，线更陡了，但也没有达到垂直。

“对了，是无穷大，是不是？永远无法达到的。”蕾妮快要接近正确答案了，但马上又回到原先错误的概念中。

“那我该怎么办呢？100？每次把y轴数值加倍，都只能使线更靠近y轴，却不能使之与y轴重合……”

她输入100。

“更接近了，但就是重合不了。”

她一边想一边自言自语，很显然她的理解越来越深入了：“嗯，我明白了，虽然……但……我明白了。y轴数值一旦增加，这条线就更接近y轴一些。不过我还是有些地方搞不明白……”

她停下来，歪着脑袋看屏幕。

“我有点不明白。现在已经是110了，但这并不是我想要的……”

接着，她发现了问题的症结所在。

“哦！无论y轴数值增加多少，x轴都是零。也就是任意数字除以零！”她的脸闪耀着光芒，“直线就是任意数字除以零——而这样的数是无穷大的。呵呵，好的，现在我明白了。直线的斜率是不存在的。哈哈哈。这下我可明白了，我不能再忘了。”

怎样做才算是勤奋

多年以来，舍恩菲尔德利用录像机拍摄了无数学生解决数学难题的过程。但是蕾妮的这段录像是舍恩菲尔德最推崇的，因为它完美展现了数学学习的秘密。从蕾妮开始学习程序使用，到她最后说“哈哈哈，这下我可明白了”中间一共过去22分钟。这可是一段相当长的时间。“这是一道八年级数学题，”舍恩菲尔德说，“如果我让一个普通水平的八年级学生坐到蕾妮的位置上，我估计试不了几次他们就会说：‘我做不出来，给我解释一下吧。’”在另一次问卷调查中，舍恩菲尔德问高年级学生，当面对一道难题做不出来放弃之前会花多少时间思考，他得到的答案从30秒钟到5分钟不等，平均两分钟。

但是蕾妮却一直坚持。她不断试验，虽然屡战屡败，但屡败屡战。她把自己的设想说出来，反复思索。她不断坚持，不愿放弃。一开始她就朦朦胧胧地知道自己画线的方法有问题，但她一直坚持到彻底解决问题才肯罢休。

蕾妮不是数学天才，“斜率”或“无穷大”这样的基本数学概念对她来说都不是很容易。但舍恩菲尔德却从她身上发现了不一般的品性。

“她身上的某种意愿驱使她做这种努力，”舍恩菲尔德说，“她并不接受肤浅的解释，然后说一句‘是的，你说得对’就走开；她愿意更深入地理解，这一点异乎寻常。”他把录像退回到蕾妮发现斜率造成图形改变而露出一脸好奇的片段。

“看，”他说道，“她恍然大悟。许多学生对改变斜率造成图形变化无动于衷，而她却在思考：‘这跟我想的不太一样，我不太理解。但这一点一定很重要，我想找到答案。’当她最终找到答案的时候，她说：‘是的，这就对了。’”

舍恩菲尔德在大学教授“疑难解决”课程。这门课程设计的初衷，用他的话来说，就是帮助学生摆脱以前养成的不良学习习惯。“我选了一个难度适中的问题，”他说，“我告诉学生：‘我给你们布置一个为期两星期的课外考试。我知道你们会怎么做。第一个星期你们什么都不用做，等第二个星期才开始。但是现在我要提醒你们：如果你们只花一个星期，你们是解决不了这道题目的。你们中肯定也有人今天就动手解决，但很快会被困住。你们会来跟我说，这题目我做不出来。但那个时候我会告诉你们，坚持下去，到了第二个星期，自然会有意想不到的进展。’”

很多时候我们希望自己天生就擅长数学。然而只有一部分人有这种能力，另一部分人则没有。但对于舍恩菲尔德来说，态度比能力更重要。只要你有意愿，你就能驾驭数学。这也正是舍恩菲尔德向学生传授的思想。成功就是坚持不懈，就是顽强不屈，就是别人花30秒钟就放弃的事你却花22分钟去思考的坚定信念。只要组织一班有蕾妮精神的学生，给他们提供地方，给他们时间让他们在数学上钻研，他们就能取得长足进步。想象一下，在一个人人都有蕾妮精神的国度，人们的这一品性发源于其文化本身，正如“荣誉文化”植根于坎伯兰高原，那么这样的国度的人们就不可能不擅长数学。

劳有所得

国际教育成就评价协会每4年会针对全世界的中小学生举办一次数学与科学研究和评测活动，这就是大名鼎鼎的TIMSS考试。（即国际数学与科学趋势研究。在第1章，我们讨论生于招生日期前、后的四年级学生学习差异时曾经提到过TIMSS考试。）这项研究旨在比较不同国家和地区在教育方面取得的成就。

当各国学生参加TIMSS考试时，他们都需按要求填写一份问卷。问卷里有各种各样的问题，诸如父母的教育水平，对数学的看法，朋友都是些什么类型的人等。你可别以为这是随随便便的问卷，这份问卷题目多达120道。实际上，这些问题既单调又麻烦，很多学生最后都有一二十道问题空着没填。

最有意思的部分出现了。问卷调查的统计结果是，来自不同国家的学生的答题平均数量不同，也就是说，可以按照各国学生答题平均数量进行排序。现在如果将答题平均数量排序和各国TIMSS考试得分排序放在一起比较，你认为会发现什么呢？两者的排序是一致的。换句话就是，哪个国家的学生更愿意花时间仔细回答冗长的问卷，这个国家的学生在TIMSS考试中取得的成绩就更好。

碰巧发现这一现象的是宾夕法尼亚大学的俄林·波依。“这真是出乎意料。”他说。波依到现在也没能把这一发现发表在学术期刊上，原因是学术期刊认为他的论点过于怪异。提醒一下，他的论点并不是完成问卷的能力和数学考试的能力存在关联性，而是这两者根本就是完全一致：你如果比较两个排名，会发现结果完全一致。

让我们再换一个角度考虑这个问题。每年在世界的一个知名大都市都会举办奥林匹克数学竞赛，每个国家都会派出1000名八年级学生参赛。照波依的观点，不需要任何数学题，我们就能精确预测每个国家在奥林匹克数学竞赛中成绩的排名。我们所要做的就是提供一份问卷，考察学生们的努力意愿程度。实际上，我们连这样的问卷都不需要做，我们只要考察哪个国家的文化特别强调努力的作用，我们就已经可以预测结果了。

那么，名单的最顶端是哪些国家或地区呢？答案也许并不令人意外：新加坡，韩国，中国台湾，中国香港和日本。这5个国家或地区的共通点在哪里？共通点就是他们的文化都是崇尚有意义工作的稻田文明。千百年来在这些地方，贫穷的农民在稻田里坚持着每年3000小时的耕种，为了生存下去，他们的观念就是：“一年忙到头，吃穿不用愁。”

其次，也更为重要的是，中国北方并不是稻田文明，而是麦田文明，所以我们不敢确定这里是不是更像西欧国家。中国北方人也擅长数学么？就现有资料而言，我们还无法得出结论。心理学家詹姆士·菲林指出，移民美国的中国人绝大多数来自中国南方——也就是擅长数学的人的老家。在美国顶级学校如麻省理工毕业的中国学生绝大多数是珠江三角洲移民的后裔。他还指出，美国华人中成就相对较低的是“四邑”人。（也称“五邑”，指江门市辖下的新会区及4个县级市：台山、开平、恩平、鹤山。但在海外华人社区，很多人仍沿用四邑的称呼。）他们来自珠江三角洲的边缘地带，“那里的土地相对贫瘠，农业很难进行精工细作”。

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