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第三百七十三章 里奇的流形流形（第1页）

1884年，里奇-库尔巴斯托罗（Ricci-Curbastro）开始了关于绝对微积分（absolutedifferentialcalculus）的工作。

1900年，列维-齐维塔（Levi-Civita）和里奇-库尔巴斯托罗（Ricci-Curbastro）出版了《绝对微积分方法及其应用》（Méthodesdecalculdifferentialabsoluetleuresapplications），其中他们建立了张量理论，15年后在广义相对论中用到。

列维-齐维塔对里奇说：“想要确认是不是拓扑学等价，也需要经过拓扑等价变化得来的。”

里奇说：“等价变换的过程，就意味着这个东西需要做一个改变了，尤其是曲率会有改变。”

列维说：“听起来好复杂啊，能够完成吗？”

里奇说：“会的，复杂但不意味着做不到，一个有曲率的流形，可以用埃尔米特度量来表示，曲率的变换，仅仅是那些上三角矩阵中数字的变换而已。”

列维说：“我们可以尝试的去掌握这种变换。”

里奇想拿热学做类比，但是实际不成熟，脑中想了想之后，还是压下去低调的说：“没错，到时候等价拓扑流形变换，就是埃尔米特流形度量矩阵里数字的变化而已。那个时候，我们可以使用这个工具去构造。”里奇突然在想，很多热力学中的复杂变化跟这个里奇流变化也有关系，而且埃尔米特度量矩阵中的数字，有了一种类似于玻尔兹曼公式中的热学信息的秩序感，那么热学中的无序变化，就是热学中埃尔米特度量的数字信息的变化，从这个数字上可以反映出有序到无序的不可逆性，就类似了棋盘和摆牌这种模型了。

列维说：“然后用它可以完成一系列的拓扑手术，构造几何结构，把不规则的流形变成规则的流形。这个可以应用在力学中，力学可以让材料发生变形。力学几何解释就是，内在的曲率变化就是封闭流形的度规变化的原因。把局部内在转动归结为封闭流形位形几何演化的内在原因。”

里奇觉得力学的比喻是十分恰当的，而且还找到了变化的单元，借助这个局部转动的概念，就可以像垒积木一样的搭建一个流形大厦了。

同时他认为可以从两个角度来解释：“对连续介质力学而言，对dgdt可以作出应变的对应解释。而在几何上，对于曲率变化，可以做出局部内在转动的解释。”

列维说：“所以，把局部内在转动归结为封闭流形位形几何演化的内在原因。如果这个内在转动不为零，则封闭流形会演化下去，只到达成一个平衡位形。”

一般而言，外部的物理作用由一个泛函f引入，从而，完整的、在外场作用下的Ricci方程为：

dgdt=-2Ricci（g）-2ddf（R）。

这样，对特定的外场，就有一个特定的平衡位形。

与连续介质力学不同，应力的概念被一个依赖于曲率的泛函局部二阶微分特性给定了。

这多少与格林应力是等价的。

而在连续介质力学中，一个长期以来的难题是如何定义物质微元的几何属性。

这个物质微元是封闭的3-流形。

从而，Ricci流方程把微元闭流形的变化与连续介质的宏观位形变化连续了起来。

而在经典的连续介质力学中，微元物质是被隐涵的假定为三个1-流形的直和。

那是最为简单的情况，这是特例。此时，各向同性假定是必须引入的。

但是，各向异性就象一个幽灵，紧随大变形而来，如接受，就与前提矛盾；如不接受，又与客观事实矛盾。因而，理性力学一直在这个问题上纠结不清。

在上世纪50年代后，一个流形的概念是把物质微元看成是一个2-流形与一个1-流形的直和。这就是所谓的：有极介质。它的最终成果就是液晶。

一个更为普遍性的介质是：具有某种旋转对称性的各向异性介质。（旋转对称轴是1-流形，旋转曲面是2-流形。）

对任意的微元为3-流形的介质，唯一的办法是引入先天性的3个独立矢（或者是任意的3-流形g（0）。）而这就是Ricci流。

这样的一种描述才是现代材料科学所需求的连续介质力学的最基本的理论体系。

我国力学家陈至达建立的理性力学理论体系事实上就是按引入先天性的3个独立矢来构造的。

但是，只完成了几何部分，没有建立相应的外场介入形式，而Ricci流方程恰恰是一个最为有力的补充。这样，一个更为深刻的理论构造方向就大门洞开了。

事实上，Truesdell，Noll，等等的后期理性力学一致的指向：连续介质力学的微元物质概念。

我们能够看到的是：Ricci流概念建立于上世纪80年代，在几何上并没有超前于理性力学。但是，在物理原因的描述上的确是超前于理性力学。

换句话说：Ricci流概念为理性力学与现代物理的结合打开了一扇大门，而陈理性力学是与Ricci流概念协调的变形力学体系。我走在了正确的道路上。这是值得自豪的。

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