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受到阿贝尔的信,阿贝尔声称自己证明了五次方程没有根式解,高斯嗤之以鼻。
“不是没有解,仅仅是因为你解不出来吧?”
高斯被阿贝尔这么一搞,就想要好好琢磨关于解方程的问题,而且不仅仅想给阿贝尔这个‘民科’一个教训,同时也想要在更高层次上来回答这个问题。
这样才能体现出自己数学王子这个霸气的称号。
高斯准备想给阿贝尔一个回信,上面说:“小家伙,知不知道在百年前,就有人得知了代数学基本定理。”
代数学基本定理:任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根(n≥1),由此推出,n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根(重根按重数计算)。
高斯继续写着:“而且这是罗伯特在1608年已经证明的。”
这时,高斯停笔了,他突然觉得有些不对劲,他只是知道这件事,但是没有见过罗伯特的证明过程。
高斯放下笔,开始去寻找证明过程。
高斯知道代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用。最早该定理由德国数学家罗特于1608年提出。
高斯不知的是关于代数学基本定理的证明,后有200多种证法。迄今为止,该定理尚无纯代数方法的证明。
高斯终于找到该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的,但证明不完整。接着,欧拉也给出了一个证明,但也有缺陷,拉格朗日于1772年又重新证明了该定理,后经高斯仔细分析,证明仍然很不严格的。
高斯说:“我得试试如何证明代数基本定理。”
高斯没有再回信,只是专注于寻找证明方法,终于在1799年成功给出代数基本定理的第一个严格证明,在当年的哥廷根大学的博士论文中交出来。
后来有几种证明方法,复分析证明,拓扑学证明和代数证明。
大数学家J.P.塞尔曾经指出:代数基本定理的所有证明本质上都是拓扑的。
美国数学家JohnWillardMilnor在数学名着《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直观的证明,但是其中用到了和临界点测度有关的sard定理。
复变函数论中,对代数基本定理的证明是相当优美的,其中用到了很多经典的复变函数的理论结果。
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